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Lineare Algebra: Ein geometrischer Zugang


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März 2003

Beschreibung

Beschreibung

Dieses Buch bietet Studenten mit Nebenfach Mathematik eine praktische Einführung in die lineare Algebra. Großer Wert wird auf geometrische Erklärungen und numerische Anwendungen gelegt. Zahlreiche Beispiele bringen Praxisnähe; auf detaillierte Beweise wird verzichtet. Beide Autoren sind Experten auf dem Gebiet des computergestützten Modellierens; viele Anwendungen kommen aus diesem Gebiet.

Inhaltsverzeichnis

1 Descartes' Entdeckung.- 1.1 Lokale und globale Koordinaten in 2D.- 1.2 Der Übergang von globalen auf lokale Koordinaten.- 1.3 Lokale und globale Koordinaten in 3D.- 1.4 Wir verlassen den Quader.- 1.5 Wie man Koordinaten erhält.- 1.6 Aufgaben.- 2 Hier und Dort: Punkte und Vektoren in 2D.- 2.1 Punkte und Vektoren.- 2.2 Wo liegen die Unterschiede?.- 2.3 Vektorfelder.- 2.4 Wie Punkte kombiniert werden.- 2.5 Die Länge eines Vektors.- 2.6 Lineare Unabhängigkeit.- 2.7 Das Skalarprodukt.- 2.8 Ungleichungen.- 2.9 Aufgaben.- 3 Geraden in 2D.- 3.1 Definition der Geraden.- 3.2 Die Parameterdarstellung einer Geraden.- 3.3 Die implizite Darstellung einer Geraden.- 3.4 Die explizite Darstellung einer Geraden.- 3.5 Konvertierung zwischen parametrischer und impliziter Darstellung.- 3.5.1 Umwandlung von parametrisch zu implizit.- 3.5.2 Umwandlung von implizit zu parametrisch.- 3.6 Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden.- 3.6.1 Abstandsberechnung bei impliziter Darstellung.- 3.6.2 Abstandsberechnung für eine parametrische Darstellung.- 3.7 Der Lotfußpunkt.- 3.8 Treffpunkte: Zur Berechnung von Schnittpunkten.- 3.8.1 Parametrische und implizite Darstellung.- 3.8.2 Zwei parametrische Darstellungen.- 3.8.3 Zwei implizite Darstellungen.- 3.9 Aufgaben.- 4 Lineare Abbildungen in 2D.- 4.1 Schiefes Zielgebiet.- 4.2 Die Matrixdarstellung.- 4.3 Weiteres über Matrizen.- 4.4 Skalierungen.- 4.5 Spiegelungen.- 4.6 Rotationen.- 4.7 Scherungen.- 4.8 Projektionen.- 4.9 Flächeninhalte und lineare Abbildungen: Determinanten.- 4.10 Hintereinanderschaltung linearer Abbildungen.- 4.11 Weiteres über Matrixmultiplikation.- 4.12 Weitere Gesetze der Matrixarithmetik.- 4.13 Aufgaben.- 5 Lineare Systeme der Dimension 2×2.- 5.1 Koordinatentransformationen.- 5.2 Die Matrixdarstellung.- 5.3 Ein direkter Ansatz: die Cramer'sche Regel.- 5.4 Gauß-Elimination.- 5.5 Invertierung von Abbildungen und Matrizen.- 5.6 Unlösbare Systeme.- 5.7 Unterbestimmte Systeme.- 5.8 Homogene Systeme.- 5.9 Numerische Strategien: Pivotelemente.- 5.10 Bestimmung einer Abbildung.- 5.11 Aufgaben.- 6 Dinge in Bewegung setzen: Affine Abbildungen.- 6.1 Affine und lineare Abbildungen.- 6.2 Translationen.- 6.3 Allgemeinere affine Abbildungen.- 6.4 Dreiecke auf Dreiecke abbilden.- 6.5 Hintereinanderausfuhrung affiner Abbildungen.- 6.6 Aufgaben.- 7 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 7.1 Fixierte Richtungen.- 7.2 Eigenwerte.- 7.3 Eigenvektoren.- 7.4 Spezialfälle.- 7.5 Die Geometrie symmetrischer Matrizen.- 7.6 Wiederholte Anwendung von Abbildungen.- 7.7 Die Konditionszahl einer Abbildung.- 7.8 Eigenwerte und Eigenvektoren in höheren Dimensionen.- 7.9 Aufgaben.- 8 Teile des Ganzen: Dreiecke.- 8.1 Baryzentrische Koordinaten.- 8.2 Affine Invarianz.- 8.3 Einige besondere Punkte.- 8.4 2D-Triangulierungen.- 8.5 Eine Datenstruktur einer Triangulierung.- 8.6 Ortsbestimmung.- 8.6.1 Algorithmus zur Ortsbestimmung.- 8.7 3D-Triangulierungen.- 8.8 Aufgaben.- 9 Kegelschnitte.- 9.1 Der allgemeine Kegelschnitt.- 9.2 Die Analyse von Kegelschnitten.- 9.3 Die Lage eines Kegelschnitts.- 9.4 Aufgaben.- 10 3D-Geometrie.- 10.1 Von 2D nach 3D.- 10.2 Das Kreuzprodukt.- 10.3 Geraden.- 10.4 Ebenen.- 10.5 Das Spatprodukt.- 10.6 Aufgaben.- 11 Begegnungen in 3D.- 11.1 Der Abstand eines Punktes von einer Ebene.- 11.2 Der Abstand zwischen zwei Geraden.- 11.3 Schnitte von Geraden und Ebenen.- 11.4 Schnittbildung zwischen einem Dreieck und einer Geraden.- 11.5 Reflektionen von Geraden an Ebenen.- 11.6 Schnittbildung zwischen drei Ebenen.- 11.7 Schnittbildung zweier Ebenen.- 11.8 Aufgaben.- 12 Lineare Abbildungen in 3D.- 12.1 Matrizen und lineare Abbildungen.- 12.2 Skalierungen.- 12.3 Spiegelungen.- 12.4 Scherungen.- 12.5 Projektionen.- 12.6 Rotationen.- 12.7 Volumen und lineare Abbildungen: Determinanten.- 12.8 Hintereinanderausführung linearer Abbildungen.- 12.9 Invertierung von Matrizen.- 12.10 Aufgaben.- 13 Affine Abbildungen in 3D.- 13.1 Affine Abbildungen.- 13.2 Translationen.- 13.3 Die Abbildungen von Tetraedern.- 13.4 Projektionen.- 13.5 Homogene Koordinaten und perspektivische Abbildungen.- 13.6 Aufgaben.- 14 Lineare Systeme allgemeiner Form.- 14.1 Die Problemstellung.- 14.2 Die Lösung durch Gauß-Elimination.- 14.3 Determinanten.- 14.4 Iterative Lösungsmethoden.- 14.5 Überbestimmte Systeme.- 14.6 Inverse Matrizen.- 14.7 Die LU-Zerlegung.- 14.8 Aufgaben.- 15 Streckenzüge und Polygone.- 15.1 Streckenzüge.- 15.2 Polygone.- 15.3 Konvexität.- 15.4 Spezielle Polygone.- 15.5 Ungewähnliche Polygone.- 15.6 Drehwinkel und Windungszahl.- 15.7 Flächeninhalte.- 15.8 Test auf Ebenheit.- 15.9 Innen oder Außen?.- 15.9.1 Das Strahlverfahren.- 15.9.2 Das Windungszahlverfahren.- 15.10 Aufgaben.- 16 Kurven.- 16.1 Parametrische Kurven.- 16.2 Eigenschaften von Bézierkurven.- 16.3 Die Matrixform.- 16.4 Ableitungen.- 16.5 Zusammengesetzte Kurven.- 16.6 Die Geometrie ebener Kurven.- 16.7 Bewegung entlang einer Kurve.- 16.8 Aufgaben.- A Eine kurze Einführung in PostScript.- A.1 Ein Beispiel zum Aufwärmen.- A.2 Ein Überblick.- A.3 Affine Abbildungen.- A.4 Variable.- A.5 Schleifen.- A.6 CTM.- B Lösungen ausgewählter Probleme.- Literatur.- Deutsche Literatur.

Portrait

Prof. Dr. Gerald Farin ist Professor am Computer Department der Arizona State University in Tempe/ Arizona (USA) und verfügt über reiche Erfahrungen aus der industriellen Anwendung des CAGD.

Pressestimmen

From the reviews:
"This book is a translation of The geometry toolbox for graphics and modeling ... and offers a soft introduction into linear algebra and analytic geometry aiming at first year students of engineering and computer science. ... Each chapter is supplemented with exercises, some of which are solved in an appendix." (R. Steinbauer, Monatshefte für Mathematik, Vol. 145 (4), 2005)
"The book offers a nice introduction into linear algebra starting from a Euclidean point of view. ... The book is written in a very clear and geometric style. Many examples (including solutions) foster the understanding of the presented topics. This excellent book can be recommended to students of the first semesters, if they want to get familiar with a geometric approach to linear algebra." (O. Röschel, Internationale Mathematische Nachrichten, Issue 197, 2004)
EAN: 9783540418542
ISBN: 3540418547
Untertitel: 'Springer-Lehrbuch'. 2003. Auflage. Book.
Verlag: Springer
Erscheinungsdatum: März 2003
Seitenanzahl: 340 Seiten
Übersetzer/Sprecher: Übersetzt von Guido Brunnett
Format: kartoniert
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